【一专三练】专题04概率统计与期望方差分布列大题拔高
练-新高考数学复习分层训练(新高考通用)
1.(2023•广东广州•高三广东实验中学校考阶段练习)为了检测某种抗病毒疫苗的免疫
效果，需要进行动物与人体试验.研究人员将疫苗注射到200只小白鼠体内，一段时间
后测量小白鼠的某项指标值，按[0,20),[20,40),[40,60),[60,80),[80,100]分组，绘制频
率分布直方图如图所示，实验发现小白鼠体内产生抗体的共有160只，其中该项指标值
不小于60的有110只，假设小白鼠注射疫苗后是否产生抗体相互独立.
指标值
抗体
合计
小于60不小于60
有抗体
没有抗体
合计
(1)填写下面的2x2列联表，并根据列联表及a=0.05的独立性检验，判断能否认为注射
疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关.(单位：只)
(2)为检验疫苗二次接种的免疫抗体性，对第一次注射疫苗后没有产生抗体的40只小白
鼠进行第二次注射疫苗，结果又有20只小自鼠产生抗体.
(i)用频率估计概率，求一只小白鼠注射2次疫苗后产生抗体的概率p；
(ii)以(i)中确定的概率p作为人体注射2次疫苗后产生抗体的概率，进行人体接种
试验，记〃个人注射2次疫苗后产生抗体的数量为随机变量X.试验后统计数据显示,
当X=99时，P(X)取最大值，求参加人体接种试验的人数
2.（2023春•广东惠州•高三校考阶段练习）北京冬奥会的举办使得人们对冰雪运动的关
注度和参与度持续提高，某地很多中小学开展了模拟冬奥会赛事的活动，为「深入了解
学生在“自由式滑雪”和"单板滑雪''两项活动的参与情况，在该地随机选取了10所学校
进行研究，得到如图数据:
一自由式滑雪
人数（人）
-—单板滑雪
70
60
50
40
30
20
10
OABCDEFGHIJ学校
（1）从这10所学校中随机抽取2所，在抽取的2所学校参与“单板滑雪”的人数超过30人
的条件下，求这2所学校参与“自由式滑雪”的人数超过30人的概率;
（2）“自由式滑雪”参与人数超过40人的学校可以作为“基地学校”，现在从这10所学校中
随机抽取3所，记X为选出“基地学校”的个数，求X的分布列和数学期望.大佬们都在玩{精选官网网址: www.vip333.Co }值得信任的品牌平台!
3.（2023•广东广州•统考一模）为了拓展学生的知识面，提高学生对航空航天科技的兴
趣，培养学生良好的科学素养，某校组织学生参加航空航天科普知识答题竞赛，每位参
赛学生答题若干次，答题赋分方法如下：第1次答题，答对得20分，答错得10分：从
第2次答题开始，答对则获得上一次答题得分的两倍，答错得10分.学生甲参加答题竞
赛，每次答对的概率为:，各次答题结果互不影响.
4
（1）求甲前3次答题得分之和为40分的概率；
⑵记甲第i次答题所得分数X/eN）的数学期望为
①写出E（X-）与E（xJ满足的等量关系式（直接写出结果，不必证明）:
②若E（%）＞100,求i的最小值.
4.（2023•广东湛江•统考一模）某工厂一台设备生产一种特定零件，工厂为了解该设备
的生产情况，随机抽检了该设备在一个生产周期中的100件产品的关键指标（单位：cm）,
经统计得到下面的频率分布直方图:
频率
(1)由频率分布直方图估计抽检样本关键指标的平均数7和方差S2.(用每组的中点代表
该组的均值)
(2)已知这台设备正常状态下生产零件的关键指标服从正态分布用直方图的
平均数估计值7作为〃的估计值〃，用直方图的标准差估计值S作为。估计值C.
(i)为了监控该设备的生产过程，每个生产周期中都要随机抽测10个零件的关键指标，
如果关键指标出现了(〃-3b,〃+3b)之外的零件，就认为生产过程可能出现了异常，需
停止生产并检查设备.下面是某个生产周期中抽测的10个零件的关键指标：
0.81.20.951.011.231.121.330.971.210.83
利用〃和0判断该生产周期是否需停止生产并检查设备.
(ii)若设备状态正常，记X表示一个生产周期内抽取的10个零件关键指标在
(4-3b,〃+3b)之外的零件个数，求P(XNl)及X的数学期望.
参考公式:直方图的方差S2=Z(±-可-2，其中士为各区间的中点，P,为各组的频率.
*=1
参考数据：若随机变量X服从正态分布则P(〃—3b4X4〃+3cr)a0.9973,
VO.Oll«0.105,V0.012«0.U0.O.99739“0.9760,O.997310®0.9733.
5.(2023•江苏•统考一模)某小区有居民2000人，想通过验血的方法筛查出乙肝病毒携
带者，为此需对小区全体居民进行血液化验，假设携带病毒的居民占。％,若逐个化验
需化验2000次.为减轻化验工作量，随机按〃人一组进行分组，将各组〃个人的血液混
合在一起化验，若混合血样呈阴性，则这"个人的血样全部阴性；若混合血样呈阳性,
说明其中至少有一人的血样呈阳性，就需对每个人再分别单独化验一次.假设每位居民
的化验结果呈阴性还是阳性相互独立.
(1)若。=0.2,〃=20,试估算该小区化验的总次数；
（2）若。=0.9,每人单独化验一次花费10元，〃个人混合化验一次花费〃+9元.求〃为何
值时，每位居民化验费用的数学期望最小.
（注：当P<0.01时，
6.（2023•江苏•统考一模）人工智能是研究用于模拟和延伸人类智能的技术科学，被认
为是21世纪最重要的尖端科技之一，其理论和技术正在日益成熟，应用领域也在不断
扩大.人工智能背后的一个基本原理：首先确定先验概率，然后通过计算得到后验概率，
使先验概率得到修正和校对，再根据后验概率做出推理和决策.基于这一基本原理，我
们可以设计如下试验模型；有完全相同的甲、乙两个袋子，袋子有形状和大小完全相同
的小球，其中甲袋中有9个红球和1个白球乙袋中有2个红球和8个白球.从这两个袋
子中选择一个袋子，再从该袋子中等可能摸出一个球，称为一次试验.若多次试验直到
摸出红球，则试验结束.假设首次试验选到甲袋或乙袋的概率均为g（先验概率）.
（1）求首次试验结束的概率；
（2）在首次试验摸出白球的条件下，我们对选到甲袋或乙袋的概率（先验概率）进行调整.
①求选到的袋子为甲袋的概率，
②将首次试验摸出的白球放回原来袋子，继续进行第二次试验时有如下两种方案；方案
从原来袋子中摸球；方案二，从另外一个袋子中摸球.请通过计算，说明选择哪个
方案第二次试验结束的概率更大.
7.（2023•辽宁沈阳•统考一模）2022年12月初某省青少年乒乓球培训基地举行了混双
选拔赛，其决赛在韩菲/陈宇和黄政/孙艺两对组合间进行，每场比赛均能分出胜负.已
知本次比赛的赞助商提供了10000元奖金，并规定:①若其中一对赢的场数先达到4场，
则比赛终止，同时这对组合获得全部奖金；②若比赛意外终止时无组合先赢4场，则按
照比赛继续进行各自赢得全部奖金的概率之比给两对组合分配奖金.已知每场比赛韩菲
/陈宇组合赢的概率为M°<P<1），黄政/孙艺赢的概率为1-夕，且每场比赛相互独立.
（1）若在已进行的5场比赛中韩菲/陈宇组合赢3场、黄政/孙艺组合赢2场，求比赛继续
进行且韩菲/陈宇组合赢得全部奖金的概率/（P）;
（2）若比赛进行了5场时终止（含自然终止与意外终止），则这5场比赛中两对组合之间
的比赛结果共有多少不同的情况？
（3）若比赛进行了5场时终止（含自然终止与意外终止），设P=；，若赞助商按规定颁
发奖金，求韩菲/陈宇组合获得奖金数X的分布列.
8.（2023•江苏•二模）为促进经济发展，某地要求各商场采取多种举措鼓励消费.A商场
在春节期间推出“你摸球，我打折”促销活动，门口设置两个盒子，甲盒内有大小相同的
1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球，购物满一定金额的顾客
可以从甲、乙两个盒内各任取2个球.具体规则如下：摸出3个红球记为一等奖，没有
红球记为二等奖，2个红球记为三等奖，1个红球记为鼓励奖.
（1）获得一、二、三等奖和鼓励奖的折扣率分别为5折、7折、8折和9折.记随机变量€
为获得各奖次的折扣率，求随机变量4的分布列及期望即）;
（2）某一时段内有3人参加该促销活动，记随机变量〃为获得7折及以下资格的人数，求
P（U=2）.
9.（2023•辽宁•哈尔滨三中校联考一模）某学校号召学生参加“每天锻炼1小时”活动，
为了了解学生参与活动的情况，随机调查了100名学生一个月（30天）完成锻炼活动
的天数，制成如下频数分布表：
天数[0,5](5,10](10,15](15,20](20,25](25,30]
人数4153331116
（1）由频数分布表可以认为，学生参加体育锻炼天数X近似服从正态分布Nj。?），其
中〃近似为样本的平均数（每组数据取区间的中间值），且cr=6.1,若全校有3000名学
生，求参加“每天锻炼1小时”活动超过21天的人数（精确到1）；
（2）调查数据表明，参加“每天锻炼1小时”活动的天数在（15,30］的学生中有30名男生，
天数在［0,15］的学生中有20名男生，学校对当月参加“每天锻炼1小时''活动超过15天
的学生授予“运动达人''称号.请填写下面列联表：
活动天数
性别合计
[0,15](15,30]
男生
女生
合计
并依据小概率值。=0.05的独立性检验，能否认为学生性别与获得“运动达人''称号有关
联.如果结论是有关联，请解释它们之间如何相互影响.
附：参考数据：尸(〃一+b)=0.6827；P(//-2cr<X<//+2<T)-0.9545；
尸(〃-3cr4X4〃+3b)=0.9973,/=——，("/)——=a+b+c+d
7g+»(c+d)(a+c)(Hd),7
a0.10.050.010.0050.001
Xa2.7063.8416.6357.87910.828
10.(2023•河北邢台•校联考模拟预测)为弘扬体育精神，营造校园体育氛围，某校组织
“青春杯”3V3篮球比赛，甲、乙两队进入决赛.规定：先累计胜两场者为冠军，一场比
赛中犯规4次以上的球员在该场比赛结束后，将不能参加后面场次的比赛.在规则允许
的情况下，甲队中球员M都会参赛，他上场与不上场甲队一场比赛获胜的概率分别为；
和;，且每场比赛中犯规4次以上的概率为:.
(1)求甲队第二场比赛获胜的概率；
(2)用X表示比赛结束时比赛场数，求X的期望；
(3)已知球员M在第一场比赛中犯规4次以上，求甲队比赛获胜的概率.
11.(2023•河北衡水•河北衡水中学校考三模)某社区对55位居民是否患有新冠肺炎疾
病进行筛查，已知随机一人其口拭子核酸检测结果呈阳性的概率为2%,且每个人的口
拭子核酸是否呈阳性相互独立.
⑴假设该疾病患病的概率是0.3%,且患病者口拭子核酸呈阳性的概率为98%,设这55
位居民中有一位的口拭子核酸检测呈阳性，求该居民可以确诊为新冠肺炎患者的概率；
(2)根据经验，口拭子核酸检测采用分组检测法可有效减少工作量，具体操作如下：将
55位居民分成若干组，先取每组居民的口拭子核酸混在一起进行检测，若结果显示阴
性，则可断定本组居民没有患病，不必再检测；若结果显示阳性，则说明本组中至少有
一位居民患病，需再逐个进行检测，现有两个分组方案：
方案一：将55位居民分成11组，每组5人；方案二：将55位居民分成5组，每组11
人，试分析哪一个方案的工作量更少？
参考数据：0.98,“0.904，0.98"»0.801.
12.(2023•福建福州•统考二模)脂肪含量(单位：%)指的是脂肪重量占人体总重量的
比例.某运动生理学家在对某项健身活动参与人群的脂肪含量调查中，采用样本量比例
分配的分层随机抽样，如果不知道样本数据，只知道抽取了男性120位，其平均数和方
差分别为14和6,抽取了女性90位，其平均数和方差分别为21和17.
（1）试由这些数据计算出总样本的均值与方差，并对该项健身活动的全体参与者的脂肪含
量的均值与方差作出估计.（结果保留整数）
（2）假设全体参与者的脂肪含量为随机变量X,且X~N（17,。2）,其中近似为（1）
中计算的总样本方差.现从全体参与者中随机抽取3位，求3位参与者的脂肪含量均小
于12.2%的概率.
附：若随机变量x服从正态分布N（〃，），则-0.6827,PQi-2（r<X<^i+2
o-）=0.9545,722=4.7,723=4.8,0.158653=：0.004.
13.（2023•山东青岛•统考一模）今天，中国航天仍然迈着大步向浩瀚宇宙不断探索，取
得了举世瞩目的非凡成就.某学校为了解学生对航天知识的知晓情况，在全校学生中开
展了航天知识测试（满分100分），随机抽取了100名学生的测试成绩，按照［60,70）,
［70,80）,［80,90）,［90,100］分组，得到如下所示的样本频率分布直方图：
0.04
0.03
6070S0901003网
（1）根据频率分布直方图，估计该校学生测试成绩的中位数；
（2）用样本的频率估计概率，从该校所有学生中随机抽取10名学生的成绩，用P（X=A）
表示这10名学生中恰有k名学生的成绩在［90,100］上的概率，求P（X=Z）取最大值时
对应的人的值；
（3）从测试成绩在［90,100］的同学中再次选拔进入复赛的选手，一共有6道题，从中随机
挑选出4道题进行测试,至少答对3道题者才可以进入复赛.现有甲、乙两人参加选拔，
在这6道题中甲能答对4道，乙能答对3道，且甲、乙两人各题是否答对相互独立.记
甲、乙两人中进入复赛的人数为彳，求J的分布列及期望.
14.（2023•山东潍坊•统考模拟预测）某校举行“强基计划”数学核心素养测评，要求以班
级为单位参赛，最终高三一班（45人）和高三二班（30人）进入决赛.决赛规则如下：
现有甲、乙两个纸箱，甲箱中有4个选择题和2个填空题，乙箱中有3个选择题和3个
填空题，决赛由两个环节组成，环节一：要求两班级每位同学在甲或乙两个纸箱中随机
抽取两题作答，作答后放回原籍.并分别统计两班级学生测评成绩的相关数据；环节二：
由一班班长王刚和二班班长李明进行比赛，并分别统计两人的测评成绩的相关数据，两
个环节按照相关比赛规则分别累计得分，以累计得分的高低决定班级的名次.
(1)环节一结束后，按照分层抽样的方法从两个班级抽取20名同学，并统计每位同学答
对题目的数量，统计数据为：一班抽取同学答对题目的平均数为1,方差为1：二班抽
取同学答对题目的平均数为1.5,方差为0.25,求这20人答对题目的均值与方差；
(2)环节二，王刚先从甲箱中依次抽取了两道题目，答题结束后将题目一起放入乙箱中，
然后李明再抽取题目，已知李明从乙箱中抽取的第一题是选择题，求王刚从甲箱中取出
的是两道选择题的概率.
15.(2023•山东聊城•统考一模)某中学在高一学生选科时，要求每位学生先从物理和和
历史这两个科目中选定一个科目，再从思想政治、地理、化学、生物这四个科目中任选
两个科目.选科工作完成后，为了解该校高一学生的选科情况，随机抽取了部分学生作
为样本，对他们的选科情况统计后得到下表：
思想政治地理化学生物
物理类100120200180
历史类1201406080
(1)利用上述样本数据填写以下2x2列联表，并依据小概率值a=0.001的独立性检验,
分析以上两类学生对生物学科的选法是否存在差异.
生物学科选法
科类
选不选合计
物理类
历史类
合计
3
(2)假设该校高一所有学生中有《的学生选择了物理类，其余的学生都选择了历史类，且
在物理类的学生中其余两科选择的是地理和化学的概率为:，而在历史类的学生中其余
两科选择的是地理和化学的概率为4.若从该校高一所有学生中随机抽取100名学生，
用X表示这100名学生中同时选择了地理和化学的人数，求随机变量X的均值E(X).
〃(ad-bc^
附：z2
(a+b)(c+d)(a+c)(0+d)
a0.10.050.0010.0050.001
Xa2.7063.8416.6357.87910.828
16.(2023•湖北武汉•统考模拟预测)口袋中共有7个质地和大小均相同的小球，其中4
个是黑球，现采用不放回抽取方式每次从口袋中随机抽取一个小球，直到将4个黑球全
部取出时停止.
(1)记总的抽取次数为X,求E(X)；
(2)现对方案进行调整：将这7个球分装在甲乙两个口袋中，甲袋装3个小球，其中2
个是黑球；乙袋装4个小球，其中2个是黑球.采用不放回抽取方式先从甲袋每次随机
抽取一个小球，当甲袋的2个黑球被全部取出后再用同样方式在乙袋中进行抽取，直到
将乙袋的2个黑球也全部取出后停止.记这种方案的总抽取次数为匕求E(y)并从实
际意义解释E(F)与(1)中的E(X)的大小关系.
17.(2023•湖北•统考模拟预测)某市举行招聘考试，共有4000人参加，分为初试和复
试,初试通过后参加复试.为了解考生的考试情况，随机抽取了100名考生的初试成绩,
并以此为样本绘制了样本频率分布直方图，如图所示.
A频率
辆
0.030
0.024
0.020
0.012
0.010
0.004
-O35455565758595初送成绩
(1)根据频率分布直方图，试求样本平均数的估计值;
(2)若所有考生的初试成绩X近似服从正态分布N出吟,其中〃为样本平均数的估计
值，。“13,试估计初试成绩不低于88分的人数;
(3)复试共三道题，第一题考生答对得5分，答错得。分，后两题考生每答对一道题得
10分，答错得0分，答完三道题后的得分之和为考生的复试成绩.已知某考生进入复
试，他在复试中第一题答对的概率为后两题答对的概率均为；，且每道题回答正确
45
与否互不影响.记该考生的复试成绩为匕求丫的分布列及均值.
附：若随机变量X服从正态分布则：P（〃—b<X<〃+b）=0.6827,
尸（〃一2cr<X<//+2cr）=0.9545,尸（〃一3。<X<//+3cr）=0.9973.
18.（2023•湖北武汉•华中师大一附中校联考模拟预测）某地区区域发展指数评价指标体
系基于五大发展理念构建，包括创新发展、协调发展、绿色发展、开放发展和共享发展
5个一级指标.该地区区域发展指数测算方法以2015年作为基期并设指数值为100,通
过时序变化，观察创新发展、协调发展、绿色发展、开放发展和共享发展5个分领域指
数值的变动趋势.分别计算创新发展、协调发展、绿色发展、开放发展和共享发展5个
分指数，然后合成为该地区区域发展总指数，如下图所示.
2015—2022年某地区区域发展总指数
140.0
135.0
130.0
125.0
120.0
115.0
110.0-1065^-^^
105.0"00.包上^^
100.0-
95.0-
90.0——1----------1-----------1----------1----------1----------1----------1----------1-------►
2015年2016年2017年2018年2019年2020年2021年2022年x
若年份x（2015年记为x=l,2016年记为x=2,以此类推）与发展总指数y存在线性
关系.
（1）求年份x与发展总指数），的回归方程：
（2）若规定发展总指数大于115的年份为和谐发展年，和谐发展年中发展总指数低于130
的视为良好，记1分，发展总指数大于130的视为优秀，记2分，从和谐发展年中任取
三年，用X表示赋分之和，求X的分布列和数学期望.
之（王-矶必-亍）
参考公式：回归方程§=队+机其中》=歹-断，b
=228.9,>'=119.05.
19.（2023春•江苏南京•高三南京师范大学附属中学江宁分校校联考阶段练习）某学校
为了了解高一学生安全知识水平，对高一年级学生进行“消防安全知识测试”，并且规定
“体能达标”预测成绩小于60分的为“不合格”，否则为"合格若该校“不合格”的人数不
超过总人数的5%,则该年级知识达标为“合格”；否则该年级知识达标为“不合格”，需
要重新对该年级学生进行消防安全培训.现从全体高一学生中随机抽取10名，并将这
10名学生随机分为甲、乙两个组，其中甲组有6名学生，乙组有4名学生.甲组的平
均成绩为70,标准差为4；乙组的平均成绩为80,标准差为6(题中所有数据的最后结
果都精确到整数).
(1)求这10名学生测试成绩的平均分元和标准差
(2)假设高一学生的知识测试成绩服从正态分布N(〃Q2).将上述10名学生的成绩作为
样品，用样本平均数元作为〃的估计值，用样本标准差,作为。的估计值.利用估计值
估计：高一学生知识达标是否“合格”？
(3)已知知识测试中的多项选择题中，有4个选项.小明知道每道多项选择题均有两个或
三个正确选项.但根据得分规则：全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得
0分.这样，小明在做多项选择题时，可能选择一个选项，也可能选择两个或三个选项，
但不会选择四个选项.假设小明在做该道多项选择题时，基于已有的解题经验，他选择
一个选项的概率为;，选择两个选项的概率为！，选择三个选项的概率为J.已知该道
多项选择题只有两个正确选项，小明完全不知道四个选项的正误，只好根据自己的经验
随机选择.记X表示小明做完该道多项选择题后所得的分数.求X的分布列及数学期
望.
1〃
附：①〃个数的方差亍)2；
②若随机变量Z服从正态分布N"),则-b<Z<〃+b)=0.6826,
P(〃-2b<Z<4+2cr)=0.9544,P(〃一3CT<Z<4+3。)=0.9974.
20.(2023春•湖南长沙•高三长沙一中校考阶段练习)某学校为了弘扬中华传统文化，
组织开展中华传统文化活动周，活动周期间举办中华传统文化知识竞赛活动，以班级为
单位参加比赛，每班通过中华传统文化知识竞答活动，择优选拔5人代表班级参加年级
比赛.年级比赛分为预赛与决赛二阶段进行，预赛阶段的赛制为：将两组中华传统文化
的们答题放在甲、乙两个纸箱中，甲箱有5个选择题和3个填空题，乙箱中有4个选择
题和3个填空题，比赛中要求每个班级代表队在甲或乙两个纸箱中随机抽取两题作答.
每个班级代表队先抽取一题作答，答完后试题不放回纸箱中，再抽取第二题作答，两题
答题结束后，再将这两个试题放回原纸箱中.
(1)若1班代表队从甲箱中抽取了2个试题，答题结束后错将题目放入了乙箱中，接着2
班代表队答题，2班代表队抽取第一题时，从乙箱中抽取试题.已知2班代表队从乙箱中
取出的是选择题，求1班代表队从甲箱中取出的是2个选择题的概率；
(2)经过预赛，成绩最好的6班代表队和18班代表队进入决赛，决赛采用成语接龙的形
式进行，采用五局三胜制，即两班代表队中先胜三局的代表队赢得这场比赛，比赛结束.
已知第一局比赛6班代表队获胜的概率3为18班代表队胜的概率为，2，且每一局的胜
2
者在接下来一局获胜的概率为g,每局必分胜负.记比赛结束时比赛局数为随机变量X,
求随机变量X的数学期望E(X).
21.(2023春•湖南•高三校联考阶段练习)某学校食堂中午和晚上都会提供AB两种套
餐(每人每次只能选择其中一种)，经过统计分析发现：学生中午选择A类套餐的概率
为彳，选择B类套餐的概率为2；在中午选择A类套餐的前提下，晚上还选择A类套餐
13
的概率为:，选择B类套餐的概率为在中午选择3类套餐的前提下，晚上选择A类
44
套餐的概率为;，选择8类套餐的概率为
(1)若同学甲晚上选择A类套餐，求同学甲中午也选择A类套餐的概率；
(2)记某宿舍的4名同学在晚上选择8类套餐的人数为X,假设每名同学选择何种套餐
是相互独立的，求X的分布列及数学期望.
22.(2023•湖南•校联考模拟预测)基础学科招生改革试点，也称强基计划，强基计划是
教育部开展的招生改革工作，主要是为了选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合
素质优秀或基础学科拔尖的学生.聚焦高端芯片与软件、智能科技、新材料、先进制造和
国家安全等关键领域以及国家人才紧缺的人文社会科学领域.某校在一次强基计划模拟
考试后，从全体考生中随机抽取52名，获取他们本次考试的数学成绩(x)和物理成绩
(y),绘制成如图散点图：
30405060708090100110120130140150数学成绩
根据散点图可以看出y与x之间有线性相关关系，但图中有两个异常点A,8.经调查得
知，A考生由于重感冒导致物理考试发挥失常，8考生因故未能参加物理考试.为了使分
析结果更科学准确，剔除这两组数据后，对剩下的数据作处理，得到一些统计的值：
5050505050
Zw=5800,Z%=3900,=462770,之(%一可一=28540,2(》一方~=18930,
/=!r=li=li=lr=l
其中4y分别表示这50名考生的数学成绩、物理成绩，i=,2,50,y与x的相关
系数r=0.45.
(1)若不剔除A，8两名考生的数据，用52组数据作回归分析，设此时y与x的相关系数
为'试判断“与r的大小关系（不必说明理由）;
（2）求），关于x的线性回归方程（系数精确到0.01）,并估计如果8考生加了这次物理考
试（已知8考生的数学成绩为125分），物理成绩是多少？（精确到0.1）
附：线性回归方程9=<5+%中：3=上―-----------.a=y-bx.
£（%-叶
i=l
23.（2023•湖南常德•统考一模）某水表制造有限公司，是一家十分优质的水表制造公司，
该公司有3条水表表盘生产线.
（1）某检验员每天从其中的一条水表表盘生产线上随机抽取100个表盘进行检测,根据长
期生产经验，可以认为该条生产线正常状态下生产的水表表盘尺寸服从正态分布
.记X表示一天内抽取的100个表盘中其尺寸在（〃-3G〃+3CT）之外的个数，求P
（XW1）及X的数学期望；
（2）该公司的3条水表表盘生产线其次品率和生产的表盘所占比例如下表：
生产线编号次品率所占比例
10.0235%
20.0150%
30.0415%
现从所生产的表盘中随机抽取一只，若已知取到的是次品，试求该次品分别由三条生产
线所生产的概率，并分析该次品来自哪条生产线的可能性最大（用频率代替概率）.
附：若随机变量Z服从正态分布N（4/）,则P（〃-3b<Z<〃+3b）=0.9973,
O.9973100»0.7631
24.（2023•湖南邵阳•统考二模）为响应习近平总书记“全民健身”的号召，促进学生德智
体美劳全面发展，某校举行校园足球比赛.根据比赛规则，淘汰赛阶段，参赛双方有时
需要通过“点球大战”的方式决定胜负.“点球大战”的规则如下：
①两队各派5名队员，双方轮流踢点球，累计进球个数多者胜；
②如果在踢满5轮前，一队的进球数已多于另一队踢满5轮最多可能射中的球数，则不
需要再踢（例如：第4轮结束时，双方“点球大战”的进球数比为2:0,则不需要再踢第
5轮）；
③若前5轮“点球大战”中双方进球数持平，则从第6轮起，双方每轮各派1人踢点球,
若均进球或均不进球，则继续下一轮，直到出现一方进球另一方不进球的情况，进球方
胜出.
假设每轮点球中进球与否互不影响，各轮结果也互不影响.
(1)假设踢点球的球员等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向射门，门将也会等可
能地选择球门的左、中、右三个方向来扑点球，而且门将即使方向判断正确，左右两边
将球扑出的可能性为(，中间方向扑出的可能性为若球员射门均在门内，在一次“点
球大战”中，求门将在前4次扑出点球的个数X的分布列和数学期望.
(2)现有甲、乙两队在淘汰赛中相遇，需要通过“点球大战'’来决定胜负.设甲队每名队员
射进点球的概率均为乙队每名队员射进点球的概率均为目，若甲队先踢，求甲队恰
在第4轮取得胜利的概率.
25.(2023秋•浙江宁波•高三期末)甲、乙两位棋手，与同一台智能机器人进行国际象
棋比赛，相互独立，互不影响，记分规则如下：在一轮比赛中，如果甲赢而乙输，则甲
得1分；如果甲输而乙赢，则甲得-1分；如果甲和乙同时赢或同时输，则甲得。分.设
甲赢机器人的概率为0.6,乙赢机器人的概率0.5.记甲在一轮比赛中的得分记为X,在两
轮比赛中的得分为Y.
(1)若甲单独与机器人进行三次比赛，求甲恰有两次赢的概率；
(2)求X的分布列；
(3)求F的均值.
26.(2023•浙江嘉兴•统考模拟预测)糟蛋是新鲜鸭蛋(或鸡蛋)用优质糯米糟制而成,
是中国别具一格的特色传统美食，以浙江平湖糟蛋、陕州糟蛋和四川宜宾糟蛋最为著名.
平湖糟蛋采用优质鸭蛋、上等糯米和酒糟糟渍而成，经过糟渍蛋壳脱落，只有一层薄膜
包住蛋体，其蛋白呈乳白色，蛋黄为橘红色，味道鲜美.糟蛋营养丰富，每百克中约含
蛋白质15.8克、钙24.8克、磷11」克、铁0.31克，并含有维持人体新陈代谢必须的
18种氨基酸.现有平湖糟蛋的两家生产工厂，产品按质量分为特级品、一级品和二级品，
其中特级品和一级品都是优等品，二级品为合格品.为了比较两家工厂的糟蛋质量，分
别从这两家工厂的产品中各选取了200个糟蛋，产品质量情况统计如下表：
优等品合格品合计
特级品一级品二级品
工厂甲1007525200
工厂乙1203050200
合计22010575400
(1)从400个糟蛋中任取一个，记事件A表示取到的糟蛋是优等品，事件B表示取到的糟
蛋来自于工厂甲.求P(A忸)；
(2)依据小概率值a=0.01的独立性检验，从优等品与合格品的角度能否据此判断两家工
厂生产的糟蛋质量有差异？
附：参考公式：/=(…)(工院?)(,+")，其中”=»+，+”.
独立性检验临界值表:
a0.100.050.0100.0050.001
%2.7063.8416.6357.87910.828
27.(2023春•浙江宁波•高三校联考阶段练习)据第19届亚运会组委会消息，杭州亚运
会将于2023年9月23日至10月8日举行，为此，某校开展了青少年亚运会知识问答
竞赛，有FOO名学生参赛，竞赛成绩所得分数的分组区间为
[60,70),[70,80),[80,90),[90,100],由此得到如下的频数统计表：
分数
区间[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]
性别
男生/名10707545
女生/名10904555
(1)若某学生得分不低于80分则认为他亚运会知识掌握良好，若某学生得分低于80分则
认为他亚运会知识掌握一般，那么是否有95%的把握认为该校学生对亚运会知识的掌握
情况与性别有关？
(2)利用对不同分数段进行分层抽样的方式从参赛学生中随机抽取20名学生作进一步调
研.
(i)从这20名学生中依次再抽取3名进行调查分析，求在第一次抽出的1名学生分数
在区间［80,90)内的条件下，后两次抽出的2名学生分数都在［90,100］内的概率；
(ii)从这20名学生中再任取3名进行调查分析，记取出的3人中分数在［90,100］内的
人数为九求4的分布列和数学期望.
附：
2
P（K>k0）0.100.050.010
2.7063.8416.635
Ki=______n(ad-bcY______
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
28.(2023•浙江•校联考三模)大坝是一座具有灌溉、防洪、发电、航运、养殖和游览等
综合效益的大型水利枢纽工程.为预测渗压值和控制库水位，工程师在水库选取一支编
号为8s3的渗压计，随机收集10个该渗压计管内水位和水库水位监测数据：
样本
12345678910总和
号i
水库
水位75.6975.7475.7775.7875.8175.8575.6775.8775.93758.01
75.9
xi/m
BS3
渗压
计管72.8872.9072.9272.9272.9372.9472.9472.9572.9672.98729.32
内水
位
»/机
101010
并计算得ZX；=57457.98,g片=53190.77,工=55283.20.
/=11=1/=1
(1)估计该水库中BS3号渗压计管内平均水位与水库的平均水位；
(2)求该水库BS3号渗压计管内水位与水库水位的样本相关系数(精确到Q01)；
(3)某天雨后工程师测量了水库水位，并得到水库的水位为76m.利用以上数据给出此
时8s3号渗压计管内水位的估计值.
可(y-刃____.^(x,.-x)(y,.-y)
附：相关系数广=/广'“，J240.6215.51,坂=上―-----------，
区xf》(%一寸ZU--)2
Vf=li=li=l
y=bx+a.
29.(2023•浙江温州•统考二模)在一次全市的联考中，某校高三有100位学生选择“物大佬们都在玩{精选官网网址: www.vip333.Co }值得信任的品牌平台!
化生”组合，100位学生选择“物化地”组合，现从上述的学生中分层抽取100人，将他们
此次联考的化学原始成绩作为样本，分为6组：
[60,65),[65,70),[70,75),[75,80),[80,85),[85,90],得到如图所示的频率分布直方图.
(2)在抽取的100位学生中，规定原始成绩不低于80分为“优秀”，低于80分为“不够优
秀"，请将下面的2x2列联表补充完整，并判断是否有90%的把握认为成绩是否优秀与
所选的组合有关？
优秀不够优秀总计
“物化生”组合40
“物化地''组合
总计
（3）浙江省高考的选考科目采用等级赋分制，等级赋分的分差为1分,具体操作步骤如下:
第一步：将原始成绩从高到低排列，按人数比例划分为20个赋分区间.
第二步：对每个区间的原始成绩进行等比例转换，公式为：强二1
其中心，与分别是该区间原始成绩的最低分、最高分：4/分别是该区间等级分的最低分、
最高分；s为某考生原始成绩，，为转换结果.
第三步：将转换结果r四舍五入，确定为该考生的最终等级分.
本次联考采用浙江选考等级赋分制，已知全市所有的考生原始成绩从高到低前3%的考
生被划分至［97,100］的赋分区间，甲、乙两位考生的化学原始成绩分别为85、90,最终的
等级分为98、99.试问：本次联考全市化学原始成绩的最高分是否可能是91分？请说
明理由.
gn(ad-bc)甘士,,
附：K=------------――,其中〃=a+/?+c+d.
[a+b)[c+d)[a+c)[b+d)
尸（片》,）0.100.050.010.001
k。2.7063.8416.63510.828
30.（2023•江苏南通•二模）我国风云系列卫星可以监测气象和国土资源情况.某地区水
文研究人员为了了解汛期人工测雨量单位：dm）与遥测雨量y（单位：dm）的关系，
统计得到该地区10组雨量数据如下：
样本号i12345678910
人工测雨
5.387.996.376.717.535.534.184.046.024.23
量xi
遥测雨量yi5.438.076.576.147.955.564.274.156.044.49
xi-yi0.050.080.20.570.420.030.090.110.020.26
101010
并计算得Z*=353.6,Zy；=361.7,gx3=357.3,x2*33.62,9=34.42,xy«34.02.
1=1i=Ii=l
（1）求该地区汛期遥测用量y与人工测雨量x的样本相关系数（精确到0.01）,并判断它
们是否具有线性相关关系；
（2）规定：数组（X/,yi）满足|»-川＜0.1为“I类误差”;满足0.以射-汕＜0.3为“11
类误差“；满足|xi-）MX）.3为“III类误差”.为进一步研究，该地区水文研究人员从“I
类误差”、"II类误差”中随机抽取3组数据与“III类误差”数据进行对比，记抽到"I类误
差”的数据的组数为X,求X的概率分布与数学期望.
冬（%-初乂-反）
附：相关系数r=一/「，，，V304.5«17.4.
七（%-元）3（%-刃2
V/=1i=l
2023一年高天数樊重点专题三轮冲刺演练
【一专三练】专题04概率统计与期望方差分布列大题拔高
练-新高考数学复习分层训练(新高考通用)
1.(2023•广东广州•高三广东实验中学校考阶段练习)为了检测某种抗病毒疫苗的免疫
效果，需要进行动物与人体试验.研究人员将疫苗注射到200只小白鼠体内，一段时间
后测量小白鼠的某项指标值，按[0,20),[20,40),[40,60),[60,80),[80,100]分组，绘制频
率分布直方图如图所示，实验发现小白鼠体内产生抗体的共有160只，其中该项指标值
不小于60的有110只，假设小白鼠注射疫苗后是否产生抗体相互独立.
指标值
抗体
合计
小于60不小于60
有抗体
没有抗体
合计
(1)填写下面的2x2列联表，并根据列联表及a=0.05的独立性检验，判断能否认为注射
疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关.(单位：只)
(2)为检验疫苗二次接种的免疫抗体性，对第一次注射疫苗后没有产生抗体的40只小白
鼠进行第二次注射疫苗，结果又有20只小自鼠产生抗体.
(i)用频率估计概率，求一只小白鼠注射2次疫苗后产生抗体的概率p；
(ii)以(i)中确定的概率p作为人体注射2次疫苗后产生抗体的概率，进行人体接种
试验，记”个人注射2次疫苗后产生抗体的数量为随机变量X.试验后统计数据显示,
2023一年高天数樊重点专题三轮冲刺演练
当X=99时，P（X）取最大值，求参加人体接种试验的人数
参考公式：入二屋售（其中〃=a+"c+"为样本容量）
2
P(X>k0)0.500.400.250.150.1000.0500.025
0.4550.7081.3232.0722.7063.8415.024大佬们都在玩{精选官网网址: www.vip333.Co }值得信任的品牌平台!
【答案】（1）表格见解析，可以认为
(2)(i)p=0.9；(ii)109或110.
【分析】（1）根据独立性检验的方法求解即可；
（2）根据二项分布的概率公式列出不等式即可求解.
【详解】（1）由频率分布直方图，知200只小白鼠按指标值分布为:
在［0,20）内有0.0025x20x200=10（只）；
在［20,40）内有0.00625x20x200=25（只）；
在［40,60）内有0.00875x20x200=35（只）；
在［60,80）内有0.025x20x200=100（只），
在［80,100］内有0.0075x20x200=30（只）.
由题意，有抗体且指标值小于60的有50只：
而指标值小于60的小白鼠共有10+25+35=70只，
所以指标值小于60且没有抗体的小白鼠有20只，
同理，指标值不小于60且没有抗体的小白鼠有20只，
故列联表如下：单位：只
指标值
抗体合计
小于不小
60于60
有抗
5011()16()
体
没有
202040
抗体
2023一年高天数樊重点专题三轮冲刺演练
合计70130200
零假设为，。:注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60无关联.
根据列联表中数据，得V=20°X(5°X20-2°X110)：4945>3.841=/斑，
160x40x70x130005
根据a=0.05的独立性检验，推断”。不成立，
即认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关，
此推断犯错误的概率不大于0.05.
(2)(i)令事件A="小白鼠第一次注射疫苗产生抗体”，
事件8="小白鼠第二次注射疫苗产生抗体”，
事件C="小白鼠注射2次疫苗后产生抗体”，
记事件A,B,C发生的概率分别为尸(A),P(8),尸(C),
则P(A)=^=0.8,P(B|A)=—=0.5,
20040
P(C)=1-P(AB)=1-P(A)P(B|A)=l-0.2x().5=0.9,
所以一只小白鼠注射2次疫苗后产生抗体的概率p=0.9,
(ii)由题意，知随机变量X~B(〃,0.9),
P(X=k)=C*x0.9Ax0.1""*(k=0,1,2,n),
因为尸(X=99)最大，
一、1C『x0.9"x0.1"992c7x0.998x0,1*98
助以也x0.9"x0.1"-">C?xO.9100xO.l"-'00'
解得1094“4110，
Q”是整数，所以〃=109或〃=110,
••・接受接种试验的人数为109或110.
2.(2023春•广东惠州•高三校考阶段练习)北京冬奥会的举办使得人们对冰雪运动的关
注度和参与度持续提高，某地很多中小学开展了模拟冬奥会赛事的活动，为了深入了解
学生在“自由式滑雪”和"单板滑雪''两项活动的参与情况，在该地随机选取了10所学校
进行研究，得到如图数据：
2023一年高天数樊重点专题三轮冲刺演练
一自由式滑
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